4.3. Распространение акустических волн в кристаллах

Выделим внутри напряженного тела элементарный прямоугольный параллелепипед с центром в начале координат и ребрами длиной , , , параллельными осями координат x, y, z [59]. Пусть  − напряжение в начале координат. Найдем силы, действующие при растяжении в направлении Оx на выделенный параллелепипед. Для граней, перпендикулярных оси Ox и отстоящих от точки О на расстояние , средние значения

компонент напряжений будут равны

и .

(4.41)

Соответственно силы, действующие на эти две грани в направлении Ox, равны

и .

(4.42)

Сумма этих сил равна , а для трех направлений она составит

.

(4.43)

Аналогично для суммы сил, действующих в направлении x на две грани, перпендикулярные Оy, и в направлении x на две грани, перпендикулярные Оz, получим

и .

(4.44)

Исходя из вышесказанного, можно записать выражение для силы, действующей вдоль направления Ox и приходящейся на единицу объема тела:

.

(4.45)

Поскольку на тело может действовать какая-либо потенциальная сила, например сила тяжести, то это необходимо учесть добавлением к выражению (4.45) соответствующего члена, тогда получим:

,

(4.46)

где  − ускорение вдоль направления Ox, а r − плотность тела.

Проводя аналогичные рассуждения для двух оставшихся направлений Oy и Oz, можно получить уравнение движения элемента объема кристалла под действием внешних сил:

.

(4.47)

В выражении (4.47) .

Итак, мы приравняли силу внутренних напряжений к произведению ускорения на массу единицы объема тела. Учтем ранее полученные соотношения, в которых и . Тогда

.

(4.48)

Уравнение (4.48) – это дифференциальное уравнение второго порядка. Поскольку все деформации малы, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания, или волны. Таким образом, уравнения (4.47) и (4.48) описывают колебательные процессы.

При распространении в твердом теле упругих волн их реальные скорости таковы, что процесс теплообмена пройти не успевает. В результате каждый участок тела можно считать теплоизолированным, т. е. процесс распространения упругих волн будет адиабатическим. Это значит, что коэффициенты  являются адиабатическими упругими модулями.

Решение уравнения (4.48) имеет вид бегущей продольной монохроматической волны:

,

(4.49)

где − волновой вектор упругой волны, равный по величине (λ – длина волны) и нормальный к плоскости постоянной фазы,  − амплитуда волны, w − ее циклическая частота, t − время распространения волны.

Найдем скорости распространения волн. Подставим (4.49) в (4.48)

.

(4.50)

Учитывая, что  ( − дельта функция: , ), запишем

.

(4.51)

Обозначим  и, учитывая, что , получим

, , .

(4.52)

Поскольку компоненты смещений  независимы, нетривиальному решению системы отвечает обращение нуль детерминанта

,

(4.53)

который называется детерминантом Кристоффеля.

 

Коэффициенты L_ij для шестикомпонентной записи имеют вид

, , , , , .

(4.54)

Формула (4.51) – это уравнение третьей степени относительно , причем коэффициенты зависят от компонент волнового вектора .

Уравнение Кристоффеля, как всякое однородное линейное уравнение, определяет вектор  лишь с точностью до общего множителя. В векторной форме уравнения Кристоффеля (4.52) записываются в виде , где  − тензор  второго ранга. Решая уравнение Кристоффеля, мы можем найти направление векторов смещения и частоты  или фазовые скорости  упругих волн, которые могут распространяться в кристалле. Фазовая скорость равна скорости распространения монохроматической волны, т. е. скорости, с которой от точки к точке передается фаза колебания.

Исходя из вида , понятно, что каждому направлению волнового вектора соответствует свой тензор L. , где  − единичный вектор нормали к фронту волны.

Задача состоит в том, чтобы по заданным  найти смещение U всех плоских волн, имеющих одно и то же произвольное направление .

 

Поскольку детерминант Кристоффеля симметричен, то он имеет вещественные положительные корни. Для каждого заданного значения волнового вектора  существуют три положительных значения частоты , , . Этим частотам соответствует три независимых упругих волны с фазовыми скоростями , , .

Если затем подставить найденные значения частот в формулу (4.50), то с точностью до общего множителя можно найти компоненты вектора смещений , ,  для каждой из упругих волн и, в конечном счете, сами векторы , , .

Оказалось, что лишь в некоторых направлениях, соответствующих наиболее симметричным направлениям в кристалле, упругие волны по отношению к направлению распространения  являются чисто продольными или чисто поперечными. В то же время направления векторов , ,  взаимно перпендикулярны.

Таким образом, в кристаллах в общем случае при любом заданном направлении волновой нормали  могут распространяться три волны с различными фазовыми скоростями – изонормальные волны. Векторы смещения этих трех волн как собственные векторы тензора  взаимно перпендикулярны. Однако для некоторых значений  тензора L из трех волн две будут иметь одинаковые фазовые скорости, а их векторы смещения могут иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору смещения третьей волны.

Например, в изотропных системах тензор L одноосен для любого . Волновая нормаль  в этом случае является осью этого тензора. В этом случае один из собственных векторов  одноосного тензора совпадает с  по направлению, т. е. в соответствующей волне вектор смещений  будет совершать колебания вдоль волновой нормали. Таким образом, волна является продольной. Два других линейно независимых вектора смещения  () могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной . Это будут смещения поперечных волн с одинаковыми фазовыми скоростями.

В кристаллах в общем случае ни одна из трех волн, имеющих заданную в каком-либо направлении нормаль , не является чисто продольной или чисто поперечной. Для чисто продольной волны должно выполняться условие равенства нулю векторного произведения , для чисто поперечной должно быть равно нулю скалярное произведение . В кристаллах для подавляющего большинства направлений это не выполняется. Однако в любом случае одна из волн будет иметь наименьший угол между векторами  и . Эта волна называется квазипродольной, а две другие – квазипоперечными.

Свойства упругих волн, распространяющихся вдоль направлений определенным образом, связаны с элементами симметрии кристалла. Например, ось симметрии с порядком выше второго является во всем кристалле продольной нормалью, т. е. вдоль нее может распространяться чисто продольная волна, а значит и две чисто поперечных. Направление волновой нормали, для которой фазовые скорости двух изонормальных волн совпадают, называется акустической осью.

 

Распространение упругих волн в кристаллах кубической системы

Для кубического кристалла коэффициенты  в формуле (4.52) имеют вид [59]:

, , , , , ,

(4.55)

где , а .

Обозначим . Тогда

,

(4.56)

где , а .

В кристаллах кубической системы имеется два направления: [100] и [110] для которых вектор смещения  строго перпендикулярен или параллелен волновому вектору . При распространении волны вдоль направления [111] направления вектора смещения и волнового вектора  не совпадают, и волны, распространяющиеся в этом направлении называют квазипродольными и квазипоперечными.

1. Рассмотрим распространение упругих волн в направлении , т. е. случай, когда волновой вектор параллелен . Тогда , , отсюда следует, что . Тогда  или .

Учтем вид величины Г. .

Отсюда частоты и фазовые скорости будут равны

,    ,    ,    .

(4.57)

Подставим полученные в (4.57) частоты в систему уравнений Кристоффеля (4.52), чтобы найти смещения U_i. Учтем, что для направления  в кубическом кристалле выполняются равенства:

, , , , , , ,  , .

(4.58)

Из уравнения (4.58) следует, что  или , . Последнее есть признак того, что волна с частотой  является продольной. Аналогично для волн с частотами   и  будем иметь , . Таким образом, волны с такими частотами будут поперечны.

2. Рассмотрим далее упругую волну с волновым вектором, параллельным направлению . В этом случае

, .

(4.59)

С учетом этого уравнение (4.56) примет вид

.

(4.60)

Решая его с учетом вида Г, a и b, получим

,    ,    . ,    ,    .

(4.61)

Аналогично пункту 1, подставим в (4.61) частоты и получим для волн с частотой  . Таким образом, такая волна будет продольной.

Для волн с частотой  соответственно найдем , . Это означает, что волна с такой частотой поперечна. Аналогично можно убедиться в поперечности волны с частотой  .

 Подобным образом возможно получить и характеристики упругих волн, распространяющихся вдоль направления [111].

Для изотропных твердых тел, приравняв фазовые скорости поперечных волн, распространяющихся вдоль , получим . Тогда в изотропном кристалле частота и фазовая скорость для продольных волн , , а для поперечных − , .

Для анизотропных твердых тел отношение  называется константой анизотропии. Значения константы анизотропии для некоторых металлов приведены в табл. 4.2 [59].

 

Таблица 4.2

Значения константы анизотропии для некоторых металлов

 

В табл. 4.3 [88] приведены данные о типе кристаллической структуры, длине связи, плотности, объемном модуле упругости, теоретических и экспериментальных значениях скорости звука в некоторых материалах.

 

Таблица 4.3

Характеристики упругих свойств материалов