4.2. Закон Гука для анизотропных твердых тел и энергия упругодеформированного тела

Монокристаллы являются в общем случае анизотропными телами, т. е. любые произвольно выбранные направления в монокристалле не эквивалентны. Выше было показано, что однородные напряжение и деформация описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами деформации  и напряжений .

Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений, и наоборот [59]. Эта связь выражается законом Гука для анизотропных твердых тел. Математическая запись закона Гука для монокристаллов:

.

(4.25)

Справедлив и обратный закон

.

(4.26)

В формулах (4.25) и (4.26)  – постоянная упругой податливости, а  – постоянная упругой жесткости.

В развернутом виде уравнения (4.25) и (4.26) представляются девятью уравнениями с 81 коэффициентами S и C. Совокупность  () образует тензор четвертого ранга. Поскольку тензоры деформаций и напряжений – симметричные тензоры второго ранга (т. е. ; ), то независимых компонент в S и C будет не 81, а только 36.

,    , ,    .

(4.27)

Кроме того, тензоры S и C симметричны и относительно перестановки пар индексов

, .

(4.28)

Это приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент сокращается с 36 до 21. Именно 21 упругую константу имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для сокращения числа индексов вводят так называемые матричные обозначения, согласно которым пары индексов заменяются однократными (замена показана символом ®).

. Исходя из этих обозначений, можно произвести замену индексов в тензоре напряжений

 

и в тензоре деформаций

 

Тогда закон Гука будет иметь вид

 

,

(4.29)

т. к. .

Дифференцируя по , имеем

.

(4.30)

Аналогично .

Наличие симметрии кристалла также накладывает определенные условия на компоненты тензора модулей упругости , в результате чего их становится меньше, чем 21.

Рассмотрим частный случай кубического кристалла.

1.               Симметрия куба обуславливает одинаковость характеристик кубических кристаллов вдоль осей координат

.

2.               Вдоль пространственных диагоналей направлены оси симметрии третьего порядка, т. е.

;

и

.

3.               Вращательные компоненты сил не могут привести к растяжению куба, поэтому

.

 

4.               Силы, действующие на площадку перпендикулярную оси z, не могут изменить угол между осями z и x, т. е.

.

Следовательно, для кубической системы имеем следующую связь между компонентами тензоров напряжений и деформации.

Таким образом, в кубической системе остается только три независимых модуля упругости и столько же постоянных упругой податливости.

Связь между  и  для кубического кристалла

Матрицы  и  взаимосвязаны, т. к. связывают компоненты тензора напряжений и деформаций

.

(4.31)

Таким образом, ,  – дельта функция.

Поэтому  - матрица, обратная матрице , и наоборот. Если построить матрицу, обратную , то для кубических кристаллов получим следующие соотношения:

; ; ; ; ; ; .

(4.32)

 

Энергия упругодеформированного тела и объемный модуль упругости

Было показано, что изменение энергии при деформации имеет вид:

,

(4.33)

а компоненты тензора напряжений определяются из формулы

.

(4.34)

Подставим выражение (4.34) в (4.33). Тогда получим

.

(4.35)

В сокращенной форме выражение (4.35) будет иметь вид

для  .

(4.36)

Интегрируя уравнение (4.36) и учитывая, что , получим

.

(4.37)

В частности, для кубических кристаллов, с учетом вида тензора деформаций ε, имеем

.

(4.38)

Для однородного всестороннего растяжения ; , тогда

.

(4.39)

Здесь В – объемный модуль упругости, связывающий энергию упругой деформации и квадрат деформации.

.

(4.40)

Экспериментальные данные о коэффициентах упругой жесткости и упругой податливости для некоторых кристаллов приведены в табл. 4.1 [59, 78]. Коэффициенты упругой жесткости  даны в единицах , а упругой податливости  − в .

 

Таблица 4.1

Коэффициенты упругой жесткости и упругой податливости ( и ) для некоторых кристаллов

Кубическая сингония

 

Гексагональная сингония

 

Тетрагональная сингония

 

Тригональная сингония