4.1. Тензоры напряжений и деформаций
Реальные твердые тела часто анизотропны, поэтому их механические свойства зависят от направления приложения силы. Такие свойства называются тензорными. В этом случае закон Гука (4.5) уже недостаточен, и необходимо применять обобщенный закон Гука, который устанавливает линейную зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Нашей задачей будет ввести понятия тензоров напряжений и деформаций и записать обобщенный закон Гука [57, 63].
Механическое напряжение есть мера внутренних сил, возникающих в деформированном под действием внешних сил теле.
Введем понятие вектора
механических напряжений 
. По модулю он равен отношению силы dF, действующей на элементарную площадку dS, окружающую некоторую произвольно выбранную внутри твердого тела
точку М, через которую проведено
сечение S, к величине этой площадки
(рис. 4.4). Выделим 
− нормальную и 
− тангенциальную
(касательная) составляющие вектора напряжения
.
Вообще говоря, различают истинные и условные напряжения. Истинные напряжения представляют собой отношение силы, приложенной к образцу, к фактическому значению площади сечения. Если такие силы способны вызвать деформацию, достаточную для изменения площади сечения, то будет меняться истинное напряжение (рис. 4.5).
|
|
|
|
Рис. 4.4. К выводу тензора напряжений |
Рис. 4.5. Образование «шейки» при растяжении цилиндрического образца [98] |
Условное
напряжение – это отношение действующей силы к первоначальной площади сечения во
всем интервале деформаций, вплоть до разрушения. Иначе говоря, если в
выведенном из состояния равновесия твердом теле выделить элемент объема, то на
его поверхность со стороны окружающих его частей тела будут действовать силы,
пропорциональные площади поверхности этого элемента объема.
Будем
считать, что кристалл представляет собой однородную, непрерывную, сплошную
среду (континуум). Такое представление в физике твердого тела носит название континуальной модели. Рассмотрим случай,
когда напряжения во всем теле однородны и все части тела находятся в состоянии
статического равновесия. Выделим в таком теле единичный куб (рис. 4.6) с
ребрами, параллельными осям координат.
|
|
|
Рис. 4.6. Напряжения, действующие на грани элементарного куба |
Силы,
действующие на противоположные грани куба в условиях равновесия, одинаковы,
поэтому достаточно рассмотреть только те, которые действуют на непараллельные
грани. Разложим каждую такую силу на одну нормальную к грани и две касательные
составляющие.
Примем обозначение 
− напряжения,
действующие в направлении оси i на
грань куба, перпендикулярную оси j.
Через каждую грань во внутреннюю часть куба будет передаваться сила, действующая
со стороны внешних частей. Будем считать, что положительные значения компонент 
, 
, 
соответствуют
положительному направлению для передних граней куба. Для задних граней силы,
действующие на эти грани, должны быть равны и направлены противоположно
указанным на рисунке силам. Тогда 
− нормальные компоненты, а − касательные
или сдвиговые (при 
).
Рассмотрим плоскость 
(в обычном обозначении
это плоскость yz), проходящую через центр куба
(рис. 4.7).
|
|
|
Рис. 4.7.
Напряжения, действующие на плоскость |
Сумма сил, действующих
вдоль оси
, равна нулю, так же как и вдоль оси 
. Вращающий момент также равен нулю, если 
. Поскольку мы рассматриваем тело в состоянии равновесия, то
полный момент сил должен быть равен нулю, т. е. 
.
Совокупность величин связывает компоненты двух векторов. Если
- сила, действующая
на единичную площадку и параллельная нормали 
к площадке, на которую
эта сила действует, то, в соответствии со сказанным выше, эта сила представляет
собой тензорную величину. Обозначив компоненты вектора силы через 
, 
и 
, а компоненты вектора нормали 
− через 
, 
и 
и учтя составляющие
вектора напряжений вдоль соответствующих осей, для компонентов силы можно
записать
|
|
(4.7) |
|
|
(4.8) |
Таким образом, - компоненты тензора напряжений 
. Это тензор второго ранга. Поскольку ,
то только шесть из девяти компонент независимы, т. е. тензор напряжений
симметричен. Для случая всестороннего сжатия (например, гидростатического)
сдвиговые напряжения не возникают, и при равны нулю. В случае,
если по нормали к граням действует одинаковая сила P, тензор
напряжений приобретает вид
|
|
(4.9) |
.Если возникает линейное напряжение вдоль какой-либо оси, от нуля будет отличаться только компонента напряжения s, направленная вдоль данной оси.
Важной характеристикой напряженного состояния твердого тела является коэффициент мягкости, равный отношению
максимальных упругих касательных напряжений к максимальным нормальным.
Коэффициент мягкости численно равен отношению 
. Чем больше коэффициент мягкости, тем жестче напряженное
состояние, т. е. тем больше сопротивление тела развитию пластической
деформации. Касательные напряжения способствуют развитию пластической
деформации, а нормальные – разрыву межатомных связей, т. е. хрупкому разрушению
твердых тел.
Под действием внешних сил, приложенных к телу, атомы могут смещаться из своих положений равновесия, и их взаимное расположение будет изменяться. При малых воздействиях искажения обратимы, и после снятия внешней нагрузки тело приобретает прежнюю форму. Такие деформации называются упругими. О них далее и пойдет речь.
Будем рассматривать только бесконечно малые деформации и одинаково обозначать адиабатические и изотермические деформации (изменения соответственно при постоянной энтропии и температуре). Небольшие различия между значениями изотермических и адиабатических упругих констант часто бывают несущественны при комнатной температуре и ниже.
При деформации твердое тело меняет свою форму и объем, т. е. меняются
расстояния между его точками. Рассмотрим две какие-либо близкие точки тела,
расстояние между которыми до одномерной деформации было 
, а после - 
. Тогда величина относительной деформации будет 
, или в предельном случае деформация в каждой точке будет
характеризоваться величиной
|
|
(4.10) |
Таким образом, деформация в любой точке есть производная смещения по координате и представляет собой безразмерную величину.
Рассмотрим случай объемной деформации твердого тела (рис. 4.8). Пусть точка 0 после деформации осталась на месте, а все остальные точки изменили положение.
Определим положение точки 
до деформации
радиус-вектором 
. После деформации она перейдет в точку 
с радиус-вектором 
.
|
|
|
Рис. 4.8. Векторное описание смещения точек упругодеформированного тела |
Вектор 
, соединяющий эти две точки и имеющий начало в точке А,
называется
вектором смещения 
, где 
- компоненты вектора смещения по осям x, y, z. Тогда координаты конца вектора
смещения 
, 
, 
.
Нас будет интересовать не абсолютное смещение точек тела при деформации,
а их относительное смещение. Определим деформацию отрезков 
. В направлении оси x она
будет 
или 
в пределе при 
. Аналогично получим деформацию по двум оставшимся
направлениям: в направлении y она будет 
и в направлении
z - 
. Поскольку компоненты u, v, w являются линейными
функциями координат, то
|
|
(4.11) |
,
,
.Девять величин 
образуют тензор
второго ранга, который носит название тензора
деформации.
Выясним физический смысл компонент тензора деформаций . Пусть деформация происходит только в направлении x, тогда 
,
|
|
(4.12) |
,
.Нетрудно увидеть, что 
представляет собой
удлинение при растяжении отрезка , спроецированное на ось x.
Аналогично 
;
− соответственно растяжения отрезка , спроецированные на оси y и z. Компоненты 
и 
определяют поворот
линейного элемента, параллельного оси x:
в первом случае – вокруг оси z в
сторону y (против часовой стрелки), а
во втором – вокруг оси y в сторону
оси z (против часовой стрелки).
Поскольку 
, то с учетом того, что при деформации отрезок удлиняется на 
, получим 
, где q -
угол поворота линейного элемента. Из условия малости смещений следует, что u, v и w малы по сравнению с x,
а, следовательно, 
и 
малы относительно . Тогда для угла
поворота линейного элемента можно записать приближенное равенство 
.
Компонента
определяет поворот
линейного элемента, параллельного оси y
вокруг оси z в направлении x (по часовой стрелке); 
− поворот
линейного элемента вокруг оси y в
направлении оси x (по часовой
стрелке). Компоненты 
и 
определяют повороты
вокруг оси x в первом случае в
направлении оси y (по часовой
стрелке), во втором – в направлении z
(против часовой стрелки).
Определим суммарный, или полный, сдвиг, происходящий, например, в
плоскости xy. Пусть в
недеформированном теле мы имеем квадрат OABC
(рис. 4.9). Под действием касательных напряжений он превращается в ромб OA/B/C/.
При этом сторона ОА поворачивается по
часовой стрелке на угол 
, а сторона ОС –
против часовой стрелки на угол 
.
Обозначим через U смещение точки, расположенной на стороне ОА, а через V – точки, расположенной на стороне ОС.
|
|
|
Рис. 4.9. Суммарная сдвиговая деформация под действием касательных напряжений [74] |
Поскольку смещение V зависит
от координаты x и пропорционально ей,
то 
, а 
. Следовательно, в плоскости xy суммарный сдвиг будет равен
|
|
(4.13) |
.Аналогично
|
|
(4.14) |
.Теперь, когда выяснен смысл компонент деформации, можно составить тензор
деформации, который определяет деформированное состояние в данной точке тела.
Для того чтобы определить собственную деформацию тела, обычно тензор делят на
симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть 
описывает вращение
тела как целого. Симметричная часть 
соответствует
собственно деформации тела. Тензор деформации является симметричным тензором
второго ранга и содержит девять компонент. Однако только шесть из них
независимы, поскольку компоненты, симметричные относительно главной диагонали,
равны между собой 
.
|
|
(4.15) |
Диагональные компоненты 
описывают удлинение
или сжатие, остальные шесть 
- компоненты деформации сдвига.
Например, до деформации угол между осями x и y был 
, после он становится 
, т. е. тензорная компонента деформации сдвига равна половине
изменения угла между указанными элементами.
Симметричный тензор деформации можно привести к главным осям, т. е. к осям, остающимся после деформации взаимно перпендикулярными
|
|
(4.16) |
.Одинаковой особенностью тензоров напряжений и деформаций является то, что они зависят не только от самого тела, но и от воздействия на него. Так, тензор напряжений характеризует силы, действующие на тело, а тензор деформаций – реакцию тела на воздействие. Поэтому оба тензора не обязательно согласовываются с симметрией тела. Такие тензоры называют полевыми.
Энергия деформированного
кристалла
Рассмотрим произведенную за единицу времени работу внешних сил,
действующих на тело и деформирующих его. Пусть кристалл до деформации имеет
форму единичного куба, деформация однородна, и ее компоненты .
1. Найдем работу за счет растягивающих составляющих, действующих вдоль оси Оx.
Пусть: а) 
возрастает от до 
;
б) остальные компоненты не изменяются;
в) центр куба остается на месте, при этом каждая из двух
перпендикулярных оси Оx граней
сместится на 
от центра куба, а
остальные четыре грани просто увеличатся по площади, не смещаясь от центра
куба.
Тогда работа, связанная с последними четырьмя гранями, будет равна нулю.
Работа, произведенная силой, действующей на грани, перпендикулярные оси Оx, с учетом того, что площадь грани
единична, будет равна произведению действия нормальной компоненты силы на
суммарное перемещение обеих граней: 
.
Найдем работу за счет сдвиговых составляющих, действующих в направлении оси Оz.
Пусть: а)
две грани, перпендикулярные оси Оx,
смещаются в противоположных направлениях, параллельных оси Оz, так что 
возрастает до 
;
б) центры граней, перпендикулярных оси Оy, смещаются на расстояния 
;
в) 
− компонента
силы, действующей на грани в этих направлениях.
Тогда работа, производимая этими силами, будет иметь вид
|
|
(4.17) |
.Рассмотрев аналогично действие остальных компонент, результирующее
изменения энергии тела dW при
деформации можно записать в виде
|
|
(4.18) |
.При медленном протекании деформации, когда процесс является
термодинамически обратимым, удельное изменение внутренней энергии dU можно считать суммой изменения
энергии деформации 
и теплоты 
, переданной телу:
|
|
(4.19) |
.При обратимом процессе (т. е. при таком процессе, который может протекать в обратном направлении и исходное состояние системы будет достигаться без каких-либо остаточных изменений) для количества теплоты можно записать
|
|
(4.20) |
.Тогда
|
|
(4.21) |
.Свободная
энергия тела определяется из соотношения 
. Тогда удельная свободная энергия
|
|
(4.22) |
.При изотермическом протекании процесса деформации dT=0 и для единичного объема справедливо равенство
|
|
(4.23) |
.При адиабатическом протекании процесса не изменяется энтропия системы
, поэтому 
. Следовательно механическое напряжение, возникающее в
деформированном твердом теле, можно определить из частных производных свободной
энергии по деформации при постоянной температуре или внутренней энергии по
деформации при постоянной энтропии:
|
|
(4.24) |
.