5.4.1. Дисперсионные кривые для двухатомной одномерной цепочки

Построим дисперсионные кривые для оптических и акустических колебаний двухатомной одномерной цепочки атомов.

При малых значениях волнового числа ± k значения возрастают пропорционально модулю волнового числа .

Пользуясь уравнением (5.41) легко установить, что максимальное значение частоты для акустической ветви колебаний достигается при , т. е. на границе зоны Бриллюэна, где . Это значение равно . При этом групповая скорость обращается в нуль . Таким образом, поведение дисперсионной кривой полностью аналогично таковому для моноатомной цепочки, рассмотренной выше, и описывается нижней (акустической) ветвью (рис. 5.10, а).

Для оптической ветви при значениях волновых чисел k, близких к нулю частота имеет максимальное значение, равное . С ростом волнового числа значение уменьшается (рис. 5.10, а), достигая при своего минимального значения . При фазовая скорость оптических колебаний стремится к бесконечности, а групповая равна нулю.

Таким образом, весь спектр разрешенных частот для цепочки, состоящей из чередующихся атомов двух сортов с массами M₁ и M₂ (причем M₁>M₂), заключен в интервалах

· от 0 до для акустических частот;

· от до для оптических частот.

Между этими интервалами расположена полоса запрещенных частот в пределах от до (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Дисперсионные кривые для двухатомной линейной цепочки в случаях: а − приведенной зоны Бриллюэна (полоса запрещенных частот выделена штриховкой); б − расширенной зоны Бриллюэна [65]

При большой разнице в массах атомов в цепочке (M₁ >> M₂) интервал частот оптических колебаний очень узок. Все частоты оптических колебаний в этом случае близки к предельному значению частоты

,

что следует из разложения подкоренного выражения в ряд и пренебрежения всеми слагаемыми со степенью выше 1:

.

Дискретный набор длин волн L, распространяющихся в цепочке, состоящей из чередующихся атомов двух сортов, может быть найден из условий цикличности

При этом должно выполняться равенство

что имеет место, когда . Последнее приводит к выражению , где n − целое число.

Отсюда

(т. к. ).

(5.50)

Из условия (5.50) можно найти интервал длин волн L. При значение максимальной длины волны, способной распространяться в рассматриваемой цепочке, будет равно длине этой цепочки: . Минимальная длина волны при будет . Следовательно, минимальная длина волны , распространяющейся в цепочке из атомов двух сортов, вдвое больше, чем в моноатомной цепочке. Число различных длин волн L в каждой ветви спектра определяется числом дискретных значений волнового числа k, расположенных в интервале от до , и равно . Поскольку ветвей колебаний в рассматриваемом случае две, то полное число различных состояний, соответствующих акустической и оптической ветвям спектра, как и в случае моноатомной цепочки, равно N – полному числу атомов в цепочке.

Дискретный (или, точнее, квазидискретный, поскольку расстояния между соседними значениями частот очень малы) спектр частот определяется набором модулей волновых чисел, заключенных в пределах от до , внутри которых находится первая зона Бриллюэна для двухатомной цепочки.

В обеих ветвях колебаний каждому значению частоты соответствуют две волны с волновыми числами и , поэтому зависимость обычно представляется кривыми, расположенными симметрично относительно оси в зоне Бриллюэна и называется приведенной зоной Бриллюэна (рис. 5.10, а). Вместе с тем, период решетки, равный в данном случае 2a определяет период функции , равный размерам зоны Бриллюэна: . Это позволяет транслировать кривую по оси k на произвольное число периодов , и строить расширенную зону Бриллюэна (рис. 5.10, б).

Рассмотрим, как меняется характер акустических и оптических колебаний при приближении к границе зоны Бриллюэна . Вблизи этой границы (т. е. при , где ) отношения амплитуд колебаний тяжелых и легких атомов имеют вид: для акустической ветви

,

(5.51)

для оптической ветви

,

(5.52)

Выражения (5.51) и (5.52) показывают, что по мере приближения к границе зоны Бриллюэна (т. е. при ) происходит уменьшение амплитуды колебаний легких атомов в акустической ветви и амплитуды колебаний тяжелых атомов − в оптической. При этом, как и при малых значениях волнового числа k, в акустической ветви соседние атомы колеблются в фазе, а в оптической − в противофазе.

При переходе от цепочки, состоящей из атомов двух сортов, к моноатомной цепочке область запрещенных частот между ветвями и исчезает. При этом оптические ветви в интервалах и переходят в акустические ветви в интервалах и соответственно. Так как при этом меняется период трансляции, исчезают оптические ветви в интервале и акустические ветви в интервалах и . Таким образом, при сближении масс атомов в цепочке спектр акустических и оптических колебаний вырождается в две акустические ветви (рис. 5.5).

Назад Далее...