Функция распределения Ферми-Дирака

     Распределение электронов и дырок по энергиям в твердом теле описывается статистикой Ферми-Дирака. Согласно этой статистике вероятность того, что состояние с некоторой энергией E при температуре Т будет занято электроном,
определяется функцией Ферми-Дирака: (fo)
  (1)

Вероятность нахождения на этом уровне дырки будет соответственно:
 

 
k - постоянная Больцмана
Т - абсолютная температура
F-энергия Ферми, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу.
     Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при различных температурах:
 
  ПОСМОТРЕТЬ АНИМАЦИЮ
 
     Из (1) следует, что в случае Т=0 в интервале энергии 0Е<F имеем fo =1 и fo=0 для Е>F. Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны. Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов  при температуре абсолютного нуля.
     Рассмотрим случай, когда T>0. Из выражения (1) для значения энергии E=F имеем fo=1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре T>0 равна 0,5.
     Произведем оценку области изменения функции распределения fo (Е) для случая T>0. Для этого подсчитаем значение fo (Е) для разных значений энергии. Для энергий, отличающихся от F на ±kT, значение  fo (Е) составляет 1/(1+e)=0,27 и 1/(1+1/e)=0,73.
     При изменении энергии на ±2kT значение  fo (Е) равно 0,118 и 0,882, а при изменении на ±3kT значение  fo (Е) равно 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля лишь в пределах (2-3)kT вблизи значения E=F.
     Для электронов, находящихся в состояниях с энергией E-F »kT, выражение (1) принимает вид:
fo (Е) =exp[(F-E)/kT]=Cexp(-E/kT), т.е. совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называется невырожденным.