Дифференциальные уравнения и системы уравнений

Для решения дифференциальных уравнений и систем в MATLAB предусмотрены следующие функции ode45(f, interval, X0 [, options]), ode23(f, interval, X0 [, options]), ode113(f, interval, X0 [, options]), odel5s(f, interval, X0 [, options]), ode23s(f, interval, X0 [, options]), ode23t (f, interval, X0 [,options]) и ode23tb(f, interval, X0 [, options]).

Входными параметрами этих функций являются:

• f - вектор-функция для вычисления правой части уравнения системы уравнений
• interval - массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы;
• Х0 - вектор начальных условий системы дифференциальных систем
• options - параметры управления ходом решения дифференциального уравнения или системы.

Все функции возвращают:

• массив Т - координаты узлов сетки, в которых ищется решение;
• матрицу X, i-й столбец которой является значением вектор-функции решения в узле Тi

В функции ode45 реализован метод Рунге-Кутта 4-5 порядка точности, в функции ode23 также реализован метод Рунге-Кутта, но 2-3 порядка, а функция ode113 реализует метод Адамса.

Пример:

В М-файле с именем pr7.m пишем:

function f=pr7(x,y)

f=cos(x+y)+(3/2)*(x-y);

end

Потом в командном окне вызываем функцию ode113:

ode113(@pr7,[0 20],0) %Метод Адамса: @pr7 – ссылка на М-функцию, [0 20]- интервалы интегрирования,0 - условие: y(0)=0

Результатом будет график:

Пример:

Необходимо реализовать метод Рунге-Кутта 4 порядка и решить задачу Коши для предложенной системы дифференциальных уравнений:

y₁(0) = 0.1; y₂(0) = 0.5

В М-файле с именем pr8.m пишем:

function dy=pr8(x,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=((y(1)/x)-y(2))*(1/x)-y(1);

end

Потом в командном окне вызываем функцию ode45:

[x,y]=ode45(@pr8,[1 10], [0.1 0.5]);

plot(x,y,'-k')

grid;

Результатом будет график:

Примеры:

pr7.m

pr8.m