2. Точность вычислений, классификация погрешностей

Во всех случаях математическая точность решения должна быть в 2-4 раза выше, чем ожидаемая физическая точность модели. Более высокая математическая точность, как и более низкая, будут неадекватны данной модели.

Существуют четыре источника погрешности результата:

1. погрешностьматематической модели – связана с ее несоответствием физической реальности, так как абсолютная истина недостижима. Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то, какие бы методы мы не применяли для расчета, все результаты будут недостаточно надежны, а в некоторых случаях и совершенно неправильны.
2. погрешность исходных данных, принятых для расчета. Это неустранимая погрешность, но это погрешность возможно и необходимо оценить для выбора алгоритма расчета и точности вычислений. Как известно, ошибки эксперимента условно делят на систематические, случайные и грубые, а идентификация таких ошибок возможно при статистическом анализа результатов эксперимента.
3. погрешность метода – основана на дискретном характере любого численного алгоритма. Это значит, что вместо точного решения исходной задачи метод находит решение другой задачи, близкого в каком-то смысле (например по норме банахова пространства) к искомому. Погрешность метода – основная характеристика любого численного алгоритма. Погрешность метода должна быть в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.
4. погрешность округления – связана с использованием в вычислительных машинах чисел с конечной точностью представления.

Вот иллюстрация этих определений. Пусть имеется реальный маятник, совершающий затухающие колебания, начинающий движение в момент t = t₀. Требуется найти угол отклонения φ от вертикали в момент t₁. Движение маятника мы можем описать следующим дифференциальным уравнением:

,

где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести, μ – коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно (погрешность модели). Кроме того, воспроизведя реальный эксперимент, мы зададим l, g (в известной точке планеты), μ с некоторой точностью, и получим набор значений с погрешностью, которую можем оценить из анализа статистики некоторого числа однотипных опытов (погрешность исходных данных). Взятое в модели дифференциальное уравнение нельзя решить в явном виде, для его решения требуется применить какой-либо численный метод, имеющий заранее известную погрешность, которая должна быть меньше неустранимой погрешности. После совершения вычислений мы получим значения с погрешностью большей, нежели погрешность метода, так как к ней прибавится погрешность округления.

Рассмотрим правила расчета погрешности округления:

1) Сложение и вычитание приближенных чисел

Введем в рассмотрение два числа a и b, называемых приближенными, то есть это есть оценка точных значений A и B, известных с абсолютными погрешностями ±ε_a и ±ε_b. Знаки этих погрешностей нам неизвестны, следовательно для обеспечения достоверности конечного результата мы должны взять наихудший случай, когда погрешности складываются. Таким образом формулируются следующие правила:

1. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
2. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
   Относительной погрешностью приближенного числа a будет являться величина. По этому же правилу определим относительную погрешность суммы приближенных чисел a и b как . При этом можно показать, что
3. Относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых: .
4. Для разности двух приближенных чисел одного знака величина относительной погрешности может быть сколь угодно большой.

2) Умножение и деление приближенных чисел

Очевидно, что приближенное число . Тогда для произведения . Если пренебречь последним малым слагаемым в скобках, то можно сформулировать следующее правило:

1. Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей множителей .

   Так как деление на число b равнозначно умножению на 1/b, то справедливо утверждение:

2. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.

Следовательно, при умножении и делении приближенных чисел необходимо принимать во внимание количество значащих цифр, характеризующих относительную точность числа, а не количество десятичных знаков, обуславливающих его абсолютную погрешность.

Совершенно очевидно, что при большом количестве действий такого сорта правила нельзя считать удовлетворительными, так как погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Статистическая оценка показывает, что при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки больше единичной в раз, если нет систематических причин для накопления погрешности. Систематические причины возникают, если, например в алгоритме вычитаются близкие по величине числа.

При любых расчетах надо устанавливать такую точность вычислений, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.