5.6. Упругие волны смещений атомов. Фононы

Наиболее простой и физически наглядной моделью тепловых колебаний решетки является волновая модель. В ней нормальные колебания атомов твердого тела заменяются соответствующим набором бегущих упругих волн, удовлетворяющих циклическим граничным условиям. Циклические граничные условия, определяющие, как было показано выше для моделей моноатомной и двухатомной одномерных цепочек атомов, набор разрешенных значений волновых чисел, позволяют рассматривать процесс распространения упругих волн без учета эффектов отражения на границах кристалла.

Замена нормальных колебаний совокупностью бегущих волн позволяет, с одной стороны, находить соответствующие им значения частот, а с другой, используя идею квантово-волнового дуализма в квантовой механике, − ввести понятие квазичастиц, описывающих элементарные тепловые возбуждения в твердом теле, и приписать каждой такой квазичастице определенную энергию и импульс. Такая модель предполагает, что энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной.

Квант энергии упругой волны называют фононом (по аналогии с фотоном). В применении к фононам справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма.

Тепловые колебания атомов в кристаллах можно рассматривать как процесс термического возбуждения фононов по аналогии с термическим возбуждением фотонов, а теплопередачу − как процесс распространения фононов (так же, как процесс распространения электромагнитных волн можно связать с процессом распространения фотонов).

Одним из экспериментальных доказательств квантования упругих волн является взаимодействие их с рентгеновскими лучами и нейтронами: энергия и импульсы рентгеновских квантов и нейтронов изменяются в результате взаимодействия таким образом, что эти изменения в точности соответствуют поглощению одного или нескольких фононов. Измерение этих эффектов позволяет определить зависимость частоты от волнового вектора, т. е. закон дисперсии.

В соответствии с принципами квантовой механики энергию стационарных состояний осциллятора, которая соответствует энергии фонона, можно рассчитать из уравнения Шредингера [64, 74]

,

(5.59)

где − оператор Гамильтона, имеющий вид

,

(5.60)

− волновая функция, − полная энергия осциллятора. В формуле (5.60) − оператор импульса, − оператор координаты, m − масса частицы, − собственная частота осциллятора − постоянная Планка.

Решением уравнения Шредингера являются собственные значения энергии

,

(5.61)

где n − главное квантовое число, которое может принимать целые неотрицательные значения. Формула (5.61) показывает, что энергия фонона может иметь только дискретные значения. Полная энергия системы, представляющей собой одномерную цепь одинаковых атомов, с учетом потенциальной энергии в состоянии равновесия U₀ может быть записана в виде

.

(5.62)

Как видно из выражения (5.61), энергия осциллятора состоит из двух частей: энергии нулевых колебаний (n=0) и энергии , характеризующей возбужденное состояние осциллятора. Наличие энергии связано с тем, что даже при температуре абсолютного нуля атомы совершают колебательные движения. Это утверждение связано с правилом неопределенности Гейзенберга для координаты x и импульса p: . Согласно этому соотношению локализация атома в какой-либо точке пространства () вызывает большую неопределенность в его импульсе, а значит, и кинетической энергии и является энергетически невыгодной. С другой стороны, увеличение области локализации частицы приводит к росту потенциальной энергии и также невыгодно энергетически. Таким образом, энергия нулевых колебаний представляет собой минимальное значение энергии, которую может иметь частица.

У твердых тел (металлов, полупроводников или диэлектриков) амплитуда нулевых колебаний значительно меньше межатомных расстояний. Вероятность делокализации атомов при этом пренебрежимо мала, так что каждый атом можно рассматривать локализованным в определенной области пространства, малой по сравнению с объемом элементарной ячейки.

Поскольку частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты акустических, то и энергия первых выше, чем вторых. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы.

Назад Далее...